Оглавление:
П. К. Рашевский. «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопроса [7]
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ.
Введение [55]
Глава первая. Пять групп аксиом [56]
§ 1. Элементы геометрии и пять групп аксиом [56]
§ 2. Первая группа аксиом: аксиомы соединения (принадлежности) [57]
§ 3. Вторая группа аксиом. Аксиомы порядка [58]
§ 4. Следствия из аксиом соединения и порядка [60]
§ 5. Третья группа аксиом: аксиомы конгруентности 66
§ 6. Следствия из аксиом конгруентности [71]
§ 7. Четвёртая группа аксиом: аксиома о параллельных [85]
§ 8. Пятая группа аксиом: аксиомы непрерывности [87]
Глава вторая. Непротиворечивость и взаимная независимость аксиом [92]
§ 9. Непротиворечивость аксиом [92]
§ 10. Независимость аксиомы о параллельных (неевклидова геометрия) [96]
§ 11. Независимость аксиом конгруентности [104]
§ 12. Независимость аксиом непрерывности (неархимедова геометрия) [106]
Глава третья. Учение о пропорциях [111]
§ 13. Комплексные числовые системы [111]
§ 14. Доказательство теоремы Паскаля [114]
§ 15. Исчисление отрезков на основании теоремы Паскаля [120]
§ 16. Пропорции и теоремы о подобии [125]
§ 17. Уравнения прямых и плоскостей [127]
Глава четвёртая. Учение о площадях на плоскости [131]
§ 18. Многоугольники, равновеликие по разложению и по дополнению [131]
§ 19. Параллелограммы и треугольники с равными основаниями и высотами [134]
§ 20. Мера площади треугольников и многоугольников [137]
§ 21. Равновеликость по дополнению и мера площади [142]
Глава пятая. Теорема Дезарга [146]
§ 22. Теорема Дезарга и её доказательство на плоскости с помощью аксиом конгруентности [146]
§ 23. Недоказуемость теоремы Дезарга в плоскости без аксиом конгруентности [149]
§ 24. Введение исчисления отрезков без помощи аксиомы конгруентности на основе теоремы Дезарга [151]
§ 25. Коммутативный и ассоциативный законы сложения в новом исчислении отрезков [154]
§ 26. Ассоциативный закон умножения и два дистрибутивных закона в новом исчислении отрезков [157]
§ 27. Уравнения прямых в новом исчислении отрезков [160]
§ 28. Совокупность отрезков, рассматриваемая как комплексная числовая система [162]
§ 29. Построение геометрии пространства с помощью числовой системы Дезарга [163]
§ 30. Значение теоремы Дезарга [167]
Глава шестая. Теорема Паскаля [169]
§ 31. Две теоремы о доказуемости теоремы Паскаля [169]
§ 32. Коммутативный закон умножения в архимедовой числовой системе [170]
§ 33. Коммутативный закон умножения в неархимедовой числовой системе [172]
§ 34. Доказательство обоих предложений, касающихся теоремы Паскаля (непаскалева геометрия) [175]
§ 35. Доказательство любой теоремы о точках пересечения с помощью теоремы Паскаля [176]
Глава седьмая. Геометрические построения на основании аксиом I — IV [180]
§ 36. Геометрические построения с помощью линейки и эталона длины [180]
§ 37. Критерий выполнимости геометрических построений с помощью линейки и эталона длины [184]
Заключение [191]
ДОБАВЛЕНИЯ К «ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ»
Добавление I. О прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками [195]
Добавление II. По поводу теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника [202]
Добавление III. Новое обоснование геометрии Больяи-Лобачевского [229]
Добавление IV. Об основаниях геометрии [248]
Добавление V. О поверхностях постоянной гауссовой кривизны [304]
Добавление VI. О понятии числа [315]
Добавление VII. Об основаниях логики и арифметики [322]
Добавление VIII. О бесконечном [338]
Добавление IX. Обоснования математики [365]
Добавление X. Проблемы обоснования математики [389]
Примечания [403]